1 семестр	Вопросы курсу "Математический анализ"	2006-2007
Вопросы курсу "Математический анализ"
(I семестр 2006/2007 учебного года)
1.	Понятие вещественного числа. Сравнение вещественных чисел. Точные грани числовых множеств. Существование точных граней. Арифметические операции над вещественными числами.
2.	Понятие функции. Предел функции. Односторонние пределы. Предел функции при х→ ∞. Предел числовой последовательности.
3.	Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых.
4.	Свойства пределов функций (арифметические операции, предельный переход в неравенствах).Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.
5.	Непрерывность функции. Устойчивость знака непрерывной функции. Классификация точек разрыва (примеры). Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.
6.	Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение. Метод вилки приближенного вычисления корней уравнений.
7.	Понятие обратной функции. Теорема о существовании, строгой монотонности и непрерывности обратной функции.
8.	Непрерывность элементарных функций.
9.	Замечательные пределы: lim (sin (x) / x, х→ 0) = 1, lim (1 + x)1/x = e.
10.	Понятие производной. Производные функций:  xn, sin x, cos x, logax, ax. Физический и геометрический смысл производной.
11.	Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью.
12.	Дифференциал функции, его физический смысл и геометрический смысл.
13.	Правила дифференцирования. Производные функций:  tg x, ctg x. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
14.	Производная сложной функции. Производные функций хa и [u (x)] v (x). Инвариантность формы первого дифференциала. Производная функции, заданной параметрически.
15.	Производные высших порядков. Производные п -го порядка функций ха, ax, sin x, cos x, In x. Формула Лейбница..
16.	Дифференциалы высших порядков.
17.	Производные векторной функции.
18.	Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла.
19.	Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций.
20.	Теорема о стягивающейся системе сегментов. Предельные точки последовательности (два определения, их эквивалентность). Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы последовательности.
21.	Критерий Коши сходимости последовательности.
22.	Второе определение предела функции. Эквивалентность двух определений.
23.	Критерий Коши существования предела функции в точке.
24.	Ограниченность непрерывной на сегменте функции (1-я теорема Вейерштрасса) Точные грани функции. Достижение точных граней непрерывной на сегменте функцией (2-я теорема Вейерштрасса).
25.	Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.
26.	Возрастание и убывание функции в точке.
27.	Теоремы Ролля и Лагранжа. Условие постоянства функции. Необходимое и достаточное условие монотонности функции.
28.	Формула Коши. Правило Лопиталя.
29.	Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
30.	Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме. Остаточный член в формах Лагранжа и Коши.
31.	Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена функций:  ех, sin x, cos x, ln (1 + x), (1 + х)а. Опенки остаточных членов.
32.	Точки локального экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума
33.	 Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба.
34.	Асимптоты графика функции. Построение графиков функций (пример).
35.	Метод итераций вычисления корней уравнений. Метод хорд. Метод касательных.
36.	Числовые ряды. Сходящиеся ряды, сумма числового ряда. Критерий Коши.
37.	Числовые ряды с положительными членами. Признаки сравнения, Даламбера, Коши. Гармонический ряд.
38.	Ряды со знакочередующимися членами. Признак Лейбница.
39.	Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Признак Абеля-Дирихле.
40.	Арифметические операции над числовыми рядами. Перестановка членов абсолютно сходящегося и условно сходящегося числового ряда.
30 августа 2006
МГУ Физический факультет